芥末堆芥末堆

张释文:当我们谈论数学时,我们在谈论什么?

作者:张释文 发布时间:

张释文:当我们谈论数学时,我们在谈论什么?

作者:张释文 发布时间:

摘要:数学的力量,首先在于把复杂问题简单化。

微信图片_20180124081028.jpg

如果给全世界学生最讨厌的学科排个名,我相信数学八成会勇夺第一(中国唯一能够撼动数学课这个地位的,估计只有政治课)。虽然很多人讨厌这门课,却也都不否认数学的重要性,无论曾经是学霸还是学渣,一旦变身为家长,立刻就会极尽手段逼迫孩子学好数学。

但是,当我们希望孩子学好数学的时候,我们真的是希望他“数学”好,还是希望他“数学考试成绩”好?当我们谈论数学时,我们究竟在谈什么?

学数学,究竟有什么用?

我不想说什么“无用之用,方为大用”这种听了会打瞌睡的话(实际上除了“数论”研究的少数领域之外,那些我们曾经以为很无用的数学发现,比如圆锥曲线、群论、非欧几何……都已经在各个对现代文明至关重要的领域里成了核心基础)。

数学的力量,首先在于把复杂问题简单化,那些简单的模型,可以帮助我们解决极端复杂的问题。

微信图片_20180124081135.jpg

举个例子,二进制,这个世界上最简单的计数方式,只有0和1两个数字符号。除了计数之外,这两个数字还能表示逻辑中的“是”与“非”。十九世纪英国的一位中学数学老师布尔,就根据二进制的第二个特征,发明了用数学运算解决逻辑问题的方法,这个方法,现在被称为布尔代数。

微信图片_20180124081203.jpg

乔治·布尔(George Boole,1815~1864)

布尔代数非常简单,几句话就可以说明白。整个运算的元素只有两个:1(代表是),0(代表非)。全部运算也只有与(AND)、或(OR)、非(NOT)三种。

比 如

在AND运算中,“大肚皮老师是男的”这个判断为“是”(1),“大肚皮老师有四条腿”这个判断为“非”(0),那么,“大肚皮老师是男的并且有四条腿”这个判断就为“非”(0)。

在OR的运算中,“大肚皮老师比赛得了第一名”的判断为“非”(0),“小叶老师比赛得了第一名”的判断为“是”(1),那么,“大肚皮老师或者小叶老师得了比赛的第一名”的判断就为“是”(1)。

NOT运算就更简单了,“大肚皮老师是男的”这句判断为“是”(1),那么,“大肚皮老师不是男的”这句判断就为“非”(0)。

这些就是布尔代数的全部内容,是不是超级简单?这么简单的东西,能用来做什么?

微信图片_20180124081307.jpg

克劳德·艾尔伍德·香农(Claude Elwood Shannon,1916-2001)

1938年,香农博士提出了用布尔代数来实现开关电路的想法,所有的数学和逻辑运算,加减乘除开方乘方等等,全都能转换成二值的布尔运算。正是依靠这一点,以布尔代数作为数字电路的基础,人类用一个个开关电路最终搭出了世界上第一台电子计算机。

微信图片_20180124081402.jpg

《模仿游戏》

从《模仿游戏》电影里那个咔咔作响的巨型机器,到今天每个家庭桌子上的笔记本、台式机,以及我们看到的电脑页面、搜索引擎,不论在工程上如何复杂,原理上依然简单,即等价于布尔运算。

就是这样一个简简单单的运算方式,甚至一直到布尔去世,都没人认为他是一个数学家,却带给了我们一个看待世界的全新视角,开创了今天的数字化世界。

这就是数学的力量,或者说,这就是数学思维的力量。

再举一个略显复杂的例子:概率论。在十九世纪之前,概率论一直局限于对静态的随机变量的研究,但十九世纪之后,发展到了对随机变量的时间序列的研究。也就是从随机变量的研究发展到了对随机过程的研究,这个发展在哲学意义上被认为是人类认知的一次飞跃。但是,随机过程的计算要复杂得多。

比如我们要研究一个城市里每天的最多人口数的话,这里面每个状态都是随机的,而且任意状态都可能和周围其他的状态相关,比如任何一天的最多人口数,与这段时间之前的最多人口数是相关的。

这样随机过程就有了两个维度的不确定性,数学家为了解决这个问题,提出了一种简化的假设,即随机过程中的各个状态,只与前一个状态有关。比如对一个城市的最多人口的研究,硬性规定今天的最多人口数只与昨天有关,而与前天无关。

虽然这种假设未必适合所有的应用,但是至少对以前不好解决的问题给了近似解,这个假设后来被命名为马尔可夫假设,而符合这个假设的随机过程,被称为马尔可夫链。

微信图片_20180124081458.jpg

马尔可夫链

20世纪80年代末期,李开复采用隐含马尔科夫模型的框架,成功研发出了世界上第一个大词汇连续语音识别系统Sphinx。最近二十年,隐含马尔科夫模型陆续成功应用于机器翻译、拼写纠错、图像处理、基因序列分析等等多个领域,直到今天,马尔可夫模型还广泛应用于股票预测和投资。

牛顿说:真理在形式上从来都是简单的,而不是复杂和含混的。

也许有人会认为,数学问题只在理工方向有用,而对于希望往文科领域发展的人意义不大。那我们看另外一个例子,关乎历史的,我们先看一组数据:

  • 中国第一个大一统王朝,秦朝建立的时候,人口数大约是4500万,十四年之后秦朝灭亡,楚汉战争,到汉初的时候人口不足2000万。

  • 接下来是文景之治,人口开始缓慢恢复,到了汉武帝,人口又到了4000万,汉武帝穷兵黩武,导致全国人口减半,最低的时候又到回了2000万的规模。

  • 然后是昭宣中兴,到了汉平帝,人口超过了五千万,结果王莽篡位西汉灭亡,诸侯纷争,到了东汉初年,人口又回到了2000万,然后又是光武中兴,人口再度缓慢恢复。

即便我们没有看过马尔萨斯的《人口论》,也会发现历史好像有个人口的天花板,超过这个天花板就会爆发饥荒、战争,导致人口锐减,接下来又是缓慢的盛世中兴,开始另一个循环周期。

微信图片_20180124081711.jpg

《人口论》马尔萨斯

如果把时间尺度扩大到整个人类历史,就会发现同样的循环周期在过去几千年里重复上演。(粗略来说,就是人口的增长受土地等生活资料的限制,食物的供给达不到人口数量的增长速度,就必然导致灾难。但要注意,工业革命之后,这种循环就被打破了,中国近现代的一些大饥荒、人口锐减,纯粹是执政者的倒行逆施造成的。)

现在越来越多的学者开始从数学角度,来发掘人类历史中的现象和规律,这门新科学被称为计量历史学。

所以有历史学家认为,人类历史上实际只发生了一件事情,那就是工业革命。

我们看到,数学不仅仅只能应用在理工领域,这种高度抽象的能力、用简单模型处理复杂事物的方式,会给我们的世界打开一扇新的大门。

许晨阳博士说:这个世界很大,人类想要掌握它的规律的话,需要一定的语言,需要一定的描述方式。数学某种程度上是描述世界的一种基本语言。并不是我们创造了它,而是它一直在那里,我们发现了它而已。它是一种艺术,一种结构很美的东西。

如果你希望孩子领略一下数学世界的奇妙和美好,那么,大肚皮老师的数学课,会是一个不错的选择。

(本文转自埃尔特订阅号,作者张释文)

1、本文是 芥末堆网转载文章,原文:埃尔特订阅号
2、芥末堆不接受通过公关费、车马费等任何形式发布失实文章,只呈现有价值的内容给读者;
3、如果你也从事教育,并希望被芥末堆报道,请您 填写信息告诉我们。
来源:埃尔特订阅号
芥末堆商务合作:王老师 18710003484
  • 张释文:当我们谈论数学时,我们在谈论什么?分享二维码